素数序列(既是素数又是复数的数):16。机器专业版的核心
选自量子杂志
作者:埃丽卡·克拉里奇
机器心脏编译
编辑:魔鬼
在证明著名的鄂尔多斯-等差数列猜想的道路上，数学界可能又前进了一步。
算术级数猜想，又称Erdős-Turan猜想，是由匈牙利数学家erdős·帕尔和沃尔夫数学奖获得者帕尔·图兰共同提出的关于调和发散序列算术子序列的数论猜想。
这个猜想的内容是:
鄂尔多斯猜测内容。(来源:维基百科)
2004年，陶哲轩和本·格林证明了这个猜想的弱化版本。
最近，两位数学家Thomas Bloom和Olof Sisask解决了这个著名猜想的第一部分，即整数的无穷序列必须包含一个长度至少为3的算术级数(如26、29、32)。
鄂尔多斯一生中提出了成千上万个问题，但其中包含“算术级数”的问题是他一生中最喜欢的。
剑桥大学数学教授蒂莫西·高尔斯(Timothy Gowers)说:“我认为很多人把这个猜想视为鄂尔多斯的头号问题。他是1998年菲尔兹奖的获得者，花了很多时间试图证明这个猜想。“令人高兴的是，一些加性投资组合研究人员对探索这一猜想感兴趣。」
一般来说，序列越密集，越有可能包含算术级数。于是，鄂尔多斯提出了一个简单的序列密度检验:求序列中所有数字的倒数和。如果有足够多的数使倒数和发散，鄂尔多斯怀疑数列应该包含任意长度的算术级数，如算术三元组、四元组等。
最近，剑桥大学的Thomas Bloom和斯德哥尔摩大学的Olof Sisask发表了论文，证明了这个猜想适用于算术三元组(如5，7，9)。他们证明了只要序列中所有元素的倒数和散度，就一定包含无穷多个算术三元组(即三个数的算术级数)。
托马斯·布鲁姆和奥洛夫·西斯塔克
“这一发现是这么多年来的标志性事件，是一件大事。”加州理工学院的Nets Katz教授说。
素数集合的倒数和是发散的。20世纪30年代，约翰尼斯·范德科尔普特利用质数的特殊结构表明它们确实包含无限多的算术三元组(如17、23、29)。
但是，Bloom和Sisask的新发现意味着在证明素数序列包含无限个三元组时，不需要掌握素数的唯一结构。你只需要知道素数的数量足以使它们的倒数和散度，这是数学家在几个世纪前发现的。
牛津大学数学研究所的高级研究员汤姆·桑德斯在一封电子邮件中说:“布鲁姆和西斯塔克的研究结果表明，即使质数的结构与过去完全不同，它们仍然可以保证有无穷多个算术级数。」
布鲁姆和西斯塔克发表的论文长达77页，这需要数学家花一些时间和精力来仔细阅读和回顾。然而，许多人乐观地认为他们的证明是正确的。“这个证书真的很体面。NetKatz说，早期的工作为这一结果奠定了基础。
布鲁姆定理和西萨斯克定理表明，只要数字序列足够密集，某些模式就会出现。这一发现符合萨拉·佩卢斯在牛津大学数学领域的基本口号:“完全无序是不可能的。(这句话最早出自数学家西奥多·莫茨基。)
涵盖的“密度”
只要级数足够稀疏，使其不包含等差数列是非常简单的。例如，对于序列1、10、100、1，000、10，000，…(它的倒数和是1.11111…).这些数字的密度下降得如此之快，以至于你永远找不到长度为3的算术级数。
你可能会想，有没有一个非常密集的不包含算术级数的数集？
你可以从头开始试，这样数列中所有的数字都不能组成等差数列。最后，序列1，2，4，5，10，11，13，14，…乍一看，它似乎很密集，但随着数字越来越大，这个系列变得非常稀疏。例如，当它达到20位数时，只有大约0.000009%的数字出现在序列中。1946年，费利克斯·贝伦德提出了更密集的例子，但很快就变得稀疏了。当数字达到20位时，该系列中出现的数字仅占所有数字的0.001%。
现在让我们看看另一个极端。如果你的数列包含几乎所有的整数，那么它必须包含算术级数。
但是在这两个极端之间是一个广阔而神秘的中间领域。级数的稀疏到什么程度，还能保证数集包含等差数列吗？
鄂尔多斯提供了一个可能的答案。他认为倒数和可以用来揭示“密度”:数N最大的序列的密度至少接近1/N位数。也就是说，系列变得越来越薄是可以的，只要变薄的速度足够慢:如果系列中最大的数字是5位数，那么密度至少是1/5；如果数列中有20位数，密度至少是1/20，以此类推。
当满足这个密度条件时，鄂尔多斯猜想级数应该包含无限个任意长度的等差数列。
1991年6月，鄂尔多斯在剑桥大学任教。
1953年，克劳斯·罗斯开始证明鄂尔多斯等差数列猜想。三年后，在一项帮助他获得1958年菲尔兹奖的工作中，他建立了一个密度函数，可以确保算术三元组的存在。它的密度并没有鄂尔多斯猜测的那么低，但是随着级数越来越长，数值趋近于零。罗斯定理意味着一个序列的密度最终会低于1%，然后低于0.1%，再低于0.01%…只要密度足够慢地低于这些阈值，序列就必须包含算术级数。
罗斯的方法依赖于这样一个事实，即大多数选择了密度“向”的数列包含算术级数，并且它们包含足够多的不同的数对，并且这些数对的中心值也属于该数列，从而产生算术三元组。
棘手的部分在于如何将这个属性从“大部分”推广到“全部”级数，即使那些结构也尽量避免算术级数。
基于高度结构化的序列，罗斯想到用傅里叶变换来映射其“谱”，从而提取序列结构。这可以检测到序列中的强重复模式，也是X射线胶片所涉及的数学知识和无线电频谱的底层技术。
有些频率比其他频率更强烈，这些变化突出了模式本身。例如，强频率可能表示序列包含更多奇数。如果是这样，你只需要关注奇数，这样你就可以得到比一开始更密集的集合。罗斯证明，经过有限的蒸馏，可以得到一组足够密集的数字，它们包含算术级数。
在过去的半个世纪里，罗斯的方法启发了解析数论领域的许多发展。斯坦福大学数学教授雅各布·福克斯说:“这些都是非常有影响力的想法。」
从纸牌游戏中寻找算术级数
罗斯的观点只对初始稠密数集有效，否则重复蒸馏只会使数集衰减。其他数学家逐渐发现了一些方法，可以从罗斯的方法中得到更多，但不能解决鄂尔多斯和等差数列猜想中的密度问题。福克斯说:“这似乎是一个很难跨越的障碍。」
2011年，卡茨和迈克尔·贝特曼用更简单的设置找到了克服上述障碍的方法:在套牌游戏中，找到与三和弦模式相匹配的牌。他们发现，有一种准确的方法可以将匹配的Set三元组视为算术级数，就像在整数序列中一样，可以要求放下卡片的哪一部分，以确保至少找到一个三元组。
这个问题是整数序列对应问题的简化模型，因此数学家希望贝特曼和卡茨的发现能够为证明鄂尔多斯等差数列猜想提供一个突破口，尤其是在结合其他近期发展之后。
贝特曼和卡茨的论文发表后不久，高尔斯发起了一个大规模的在线合作项目——Polymath，来做这样的尝试。
然而，这个项目很快就搁浅了。“这需要很大的技术能力，这个项目更适合一两个坚持了很久的人。”高尔斯说。
幸运的是，布鲁姆和西斯塔克出现了，并尝试了。起初，他们被鄂尔多斯的技术之美和等差数列的猜想所吸引，开始分别思考猜想。“这是我首先涉及的研究问题之一。”西斯科说。
2014年，布鲁姆和西西萨克联手。2016年，他们以为自己找到了解决办法。布鲁姆甚至在一次演讲中宣布了这一结果，但后来发现有些论点是站不住脚的。于是他们继续努力，深入探索贝特曼和卡茨方法的内在原理，最后提出新的想法，可以将他们的观点从Set cards转移到整数范畴。
卡茨说，两人发表的新论文似乎“一切都准备好了”。“我不相信他们之前的判断，但我相信这次的结果。」
福克斯认为布鲁姆和西斯卡克的作品是“伟大的成就”。他和其他数学家渴望探索这篇新论文中的技术是否可以应用于其他问题。福克斯说:“我认为这种方法会产生巨大的影响。
当然，这项工作远没有完全证明鄂尔多斯等差数列的猜想。布鲁姆和西西萨克只证明了算术三重的部分，但没有证明更长的序列。
即使解决了算术三重问题，很多数学家仍然把鄂尔多斯-算术级数猜想当作“红鲱鱼”(即提出无关的事实或论点来转移注意力)。很难证明鄂尔多斯的密度能保证算术三元组的存在。数学家怀疑，使这种保证无效的密度可能更低，可能只比贝伦德为避免算术级数而构造的几个集合的密度高一点。
“我们没有完全解决这个猜想，但我们只是对它有了更多的了解。”布鲁姆说。
福克斯说，布鲁姆和西斯卡克可能已经尽了最大努力来推进目前的方法。“我们需要真正的新工具来更好地挖掘新事物。”小狐说。但他也说:“现在可能不是故事的结尾。」
